技术分享丨麦克风阵列原理（二）

波束形成，是对各阵元的输出进行时延或相位补偿、幅度加权处理，以形成指向特定方向的波束。

在远场模型中，假设输入是一个平面波。设传播方向为θ，时域频率(弧度)为ω，声音在介质中的传播速度为c，对于在一个局部均匀的介质里传播的平面波，定义波束k为

k=ωsinθ/c=2sinθ/λ，其中λ是对应于频率ω的波长。由于信号到达不同的传感器的时间不同，则阵列接收到的信号可表示为

f(t)=[f(t-τ0)f(t-τ1)…f(t-τN-1)]T=[exp(jω(t-kτ0))exp(jω(t-kτ1))…exp(jω(t-kτN-1))]T

其中τn为第n个阵元接收到的信号相对于参考点的时延，N为阵元个数，T表示转置。

定义v(k)=[e-jωkτ0e-jωkτ1…e-jωkτN-1]T

矢量v包含了阵列的空间特征，称为阵列流行矢量。则f(t)可表示为f(t)=ejωtv(k)。

阵列处理器对一个平面波的响应为y(t,k)=HT(ω)v(k)ejωt

其中H(ω)是滤波器系数向量的傅里叶变换。符号y(t,k)强调了输出和输入波数k的关系。时域上的相关性体现在输出是一个复指数，和输入平面波有相同的频率。在频域上式可表示为Y(ω,k)=HT(ω)v(k)。

注意此处ω对应单一的输入频率，所以是窄带的。阵列的空时处理关系完全可以由上式的右端描述，称为阵列的频率-波数响应函数。它描述了一个阵列对于时域频率为ω，波数为k的输入平面波的复增益。

阵列的波束方向图反映了平面波在一个局部均匀的介质中传播情况，它是用入射方向表示的频率-波数响应函数，可以写成B(ω:θ)=Y(ω,k)|k=sinθ。

阵列的波束方向图是确定阵列性能的关键要素，其主要参数有3dB带宽，到第一零点的距离，第一旁瓣高度，旁瓣衰减速度等。其幅度的平方定义为功率方向图，是常用的一种阵列性能度量。